新书推介:《语义网技术体系》
作者:瞿裕忠,胡伟,程龚
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    >> It is the theory that decides what can be observed. - Albert Einstein
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     Logician 帅哥哟,离线,有人找我吗?天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 关于直觉主义数学的一场讨论


                          Arend Heyting   著
                          Walt            译

                        (注: 原文发表于1956年)

        参加者: Class, Form, Int, Letter, Prag, Sign

    Class:    你好啊, Int先生。这么好的天气, 没进城逛逛?

    Int:      冒出了个新想法, 就去图书馆把它写了出来。

    Class:    够刻苦的啊! 最近怎么样?

    Int:      挺好的。咱们喝点什么吧?

    Class:    谢谢。我敢打赌, 你一定又是在琢磨你那爱不释手的“拒绝排中
              律”了吧? 我就是搞不明白, 逻辑在哪儿都可靠, 怎么偏偏会栽
              在数学里!

    Int:      我们以前就谈过这个问题。为了描述某些对象, 换一种逻辑也许
              更精确, 这个想法以前就有过一些讨论。但, 是Brouwer 第一个
              发现了一种对象, 它们确实需要另外一种形式的逻辑。这种对象
              就是“心智的数学构造”。之所以如此, 是因为数学从一开始就
              要和无穷打交道, 而日常的逻辑是为了在有限集合上进行推理用
              的。

    Class:    我知道。但是在我看来, 逻辑是普遍适用的, 不管对有限还是无
              限。

    Int:      你应该去了解 Brouwer的纲领。它要研究的是心智的数学构造本
              身, 而不去关心构造出来的对象的本质, 比如能否独立于我们关
              于它们的知识而存在什么的。正是这一观点直接导致了对排中律
              的拒绝. 我最好还是用例子来说明。

              让我们来比较以下两个定义所定义的自然数K和L:

              I.  K是使K-1也是素数的最大素数, 当这样的数根本不存在时,
                  K就是1。

              II. L是使L-2也是素数的最大素数, 当这样的数根本不存在时,
                  L就是1。

              经典数学忽略了这两个定义的一个明显不同的特征, 这就是: K
              实际上是算出来的(K=3), 而我们目前还没有办法算L, 因为我们
              不知道是否有无穷多对孪生素数。因此, 直觉主义者拒绝用定义
              II来定义一个整数; 他们认为一个良定义的整数必须给出计算它
              的方法。这一思路导致了对排中律的拒绝, 因为如果孪生素数序
              列不是无限的就是有限的, 那II就定义了一个整数。

    Class:    有人可能要反驳说: 我们关于最后一对孪生素数存在与否的知识
              状况纯粹是偶然的, 这跟数学真理的问题是完全不沾边的。要么
              孪生素数有无穷对, 这时L=1; 要么孪生素数有有穷对, 这时L是
              最后一对孪生素数中大的那一个。无论哪种情形发生, L都是明
              确定义的; 我们能或者不能计算它又有什么关系呢?

    Int:      你的辩解本质上是一种形而上。如果“存在”的意思不是“被构
              造”,那它一定含有形而上意义在里面。了解这种意义或判定它
              是否站得住脚根本不应是数学的任务。我们不反对一些数学家个
              人在私下里接受自己所喜爱的形而上理论,但Brouwer的纲领是要
              把数学当作比形而上更简单, 更直接的东西来研究。在研究心智
              的数学构造时, “存在”只能是“被构造”的同义语。

    Class:    那就是说, 只要我们还没解决孪生素数的问题, II就不能当作一
              个整数的定义; 而那个问题一旦解决, 它又突然间是个定义了。
              假设1970年1月1日证明了有无穷个孪生素数, 那时自然L=1;可是
              在那以前L就不等于1么?

    Int:      一个数学断言要肯定特定数学对象被构造出来的事实。显然, 一
              个数学对象没被构造出来, 它就是没被构造出来。把这个结论用
              到你刚才的例子上, 我们看到:  1970年1月1日以前, L=1是没有
              证明的。但这和你说的意思是不一样的。我觉得, 为了澄清你的
              问题中的涵义, 你还是需要借助于形而上的概念: 在不依赖于我
              们的知识状况的数学事物的世界里,  L=1在某种绝对的意义上成
              立。但是我重申, 数学不应该依赖于这样的概念。事实上, 所有
              数学家, 甚至连直觉主义者们都被数学所具有的某种感性上的永
              恒的真理性所折服。可是一旦要把这种感觉精确地定义出来, 人
              们就迷失在形而上的困惑当中了。避免这种迷失的唯一途径就是
              把形而上从数学中驱逐出去。我说的研究数学构造的本身以及经
              典逻辑对于这种研究而言是不够精确的, 就是这个意思。

    Class:    我们的朋友Form和Letter来了。喂, 伙计们, 我们在进行关于直
              觉主义的最有趣的讨论。

    Letter:   你就不会跟 Int这个可爱的老家伙说点别的吗? 他已经完全不能
              自拔了耶。

    Int:      当你被一个事物的美所打动时, 会把整个生命都奉献给它的!

    Form:     一点不假! 我只是纳闷: 象直觉主义这么个充满了不确定性的玩
              意儿里边也会有什么美可言! 你的所有术语都是未经严格定义的,
              你也没有给出精确的推导规则。这么一来, 人们难免会犯嘀咕,
              拿不准什么样的推导是正确的, 什么样的推导是错误的。在日常
              言语中, 没有哪个词语有完全确定的意义, 总会有自由发挥的余
              地。发挥余地越大, 概念就越模糊。这就造成了人们之间的误解,
              以及非形式化的数学推理的泛滥。达到绝对严格性的唯一途径是
              从数学命题中抽掉一切意义, 把它们当作纯粹的符号序列来研究,
              不管它们本来要传达什么意义。这才有可能提出从已知命题推出
              新命题的确定性的规则, 避免因语言的模糊而产生的不确定的结
              果。

    Int:      我意识到形式主义者和直觉主义者的主要差别其实是一个偏好问
              题。在 Hilbert称之为“元数学”的那部分数学里面,你们其实
              也使用有意义的推理,但你们的目的是要把这部分推理同那些纯
              形式化的数学推理加以区别,使你们进行的推理尽可能简单。我
              们则与此相反。我们感兴趣的并不是数学的形式化的一面,而恰
              恰是数学里出现的某一类推理;我们试图尽可能使它发挥得淋漓
              尽致。这种偏好的根源在于:我们在这个地方看到了人类心智最
              本质的特长。

    Form:     既然你不跟形式主义过不去,我也不会跟直觉主义过不去。形式
              主义者是人类当中最温和的一些人。任何理论都可以形式化,从
              而成为我们方法的印证。直觉主义数学可以也必将得到这样的处
              理。

    Class:    那就是说,直觉主义数学应作为数学的一部分来研究。在数学中,
              我们研究给定前提的推论;直觉主义的前提可能是有趣的,但它
              们没有权利垄断数学。

    Int:      我们也没有说要垄断呀!你们能承认我们的概念的一席之地,我
              们就很满足了。但是我要反对认为直觉主义是从一些多少带有任
              意性的特定前提派生出来的那种说法。直觉主义的研究对象----
              构造性数学思维----唯一地决定了它的前提和地位:不是在经典
              数学的内部,而是和经典数学平起平坐。因为经典数学的研究对
              象是另外的东西,且不管它到底是什么。从这点上看,形式主义
              者和直觉主义者达成携手共建直觉主义数学形式化大厦的默契也
              是不可能的。不错,即使在直觉主义数学中,一个理论的已完成
              部分是有可能形式化的。这种形式化对意义的反映在目前将是很
              有用的。我们可以把这样的形式系统看成是在某一合适的语言内
              表达数学思维的语言表达式。

              可是如果采取这样的观点,我们就会碰上语言的内在歧义性障碍。
              由于词语的意义永远也无法精确到足以排除一切可能的误解的程
              度,我们永远也不能从数学上承诺这样的形式化系统正确地表达
              了我们的数学思维。

              然而我们不妨换个角度看。这些形式系统自身倒是一些非常简单
              的数学结构;其中的实体(系统中的符号)能使人联想到另一些
              (往往是非常复杂的)数学结构。这样,才有可能从数学内部进
              行形式化,形式化才成为强有力的数学工具。当然,人们永远不
              敢保证该形式化系统能完全表示任何一个领域的数学思维;随时
              有可能出现新的推理方法来迫使我们对该形式化系统进行扩充。

    Form:     我们与这种情况为伍已经有些年了。Godel的不完全性定理表明:
              数论的任何一个自恰的形式系统都能以多种不同的方式进行自恰
              的扩充。

    Int:      直觉主义也在独立地进行着形式化的工作;不同的是只有它是在
              遵循数学构造的本来面貌。

    Class:    使我感到困惑的是你们二位都似乎在玩空手道,好象要建立空中
              楼阁的感觉。既然你们把颠扑不破的逻辑准则排除在外,你们凭
              什么说你们的推理是正确的?昨天我和Sign谈过,他的相对主义
              比你们更甚。他闪烁其辞,圆滑无比,从不做出任何坚实的结论。
              我对抛弃逻辑(或者说,常识)的支持另搞一套的这种自取灭亡
              的做法感到恐惧。

    Sign:     说曹操,曹操就到。你们说我什么坏话呢?

    Class:    我刚提到我们昨天的谈话。这不,又冒出两个该死的相对主义者。
              我正在抨击他们。

    Sign:     我乐于奉陪,但首先让我们听听你的对手是怎么说的。这位是我
              的朋友Prag,他对讨论也很感兴趣耶。

    Form:     你好!你是搞科学哲学的?

    Prag:     我讨厌形而上!

    Int:      欢迎你,哥们儿!

    Form:     那么,我倒宁愿暂时先不为我自己的学派辩护,既然今天的主要
              话题是直觉主义,说别的容易把思路搞混。我觉得你们在直觉主
              义逻辑的问题上都搞错了。它确实已经被形式化了,而且大量学
              者在这一研究领域内做了很有价值的工作。这证明直觉主义者是
              尊重逻辑的,完全不是你们想象的那个样子。只不过他们搞的不
              是你们所习惯的那种逻辑而已。

    Int:      抱歉,让你失望。我的立足点并不是逻辑。怎么会是逻辑呢?逻
              辑自己还得找个基础呢,结果是造作有余、直观不足,远不如数
              学。一个数学构造对于心智来说应该是直接的,结果应该是清楚
              的,不需要什么别的东西来给它作基础。人们不需要借助任何逻
              辑就能判别出一个推理可靠不可靠,只凭一颗科学的良心足矣。
              不过,确实发展出了一种直觉主义逻辑。为了说明它的重要性,
              我们来举一个例子。令A表示一个整数“能被8整除”的性质,B
              表示一个整数“能被4整除”的性质,C表示“能被2整除”的性
              质。由于8a可以写成4*2a,由这个数学构造P我们可得性质“A推
              出B”(A-->B)。同理,构造Q(4a=2*2a)表明B-->C。先构造P
              再构造Q,我们就得到8a=2*(2*(2a)),这表明A-->C。你看,逻辑
              定理都得出来了。从得出它的过程来看,它跟普通的数学定理没
              什么两样,只不过更一般一点,好象“加法具有交换性”比“
              2+3=3+2” 更一般一样的道理。每个逻辑定理都是如此:他们不
              过是具有极端一般性的数学定理而已。就是说,逻辑是数学的一
              部分,在任何意义上都不能够成为数学的基础。当然,这只是我
              很自然地推出来的逻辑概念。如果出于其他目的的需要,是有可
              能也有必要发展出其他形式的逻辑的。

    Letter:   在我看来,所有这些困难都是人为地想象出来的。数学是非常简
              单的东西。我定义一些符号,并且规定一些把符号连接起来的规
              则。不就是这么回事么。

    Form:     可是你需要一些推理模式来证明你的形式系统是自恰的。

    Letter:   我为什么要证明自恰性?别忘了,我们是为了应用的目的而构造
              形式系统的,它们在一般意义上被证明是有用的,就算你证明了
              你的系统里每条公式都是可推出的,你还是很难说明它们为什么
              有用。自恰性完全可以从我们的工作中获得实践上的保证。我对
              直觉主义的异议在于:数学里边是否真的有无穷什么事。我写下
              一个符号,比如说a, 把它叫做整数基数。然后我定下一套符号
              处理规则,碰巧符合 Class先生关于整数基数的理解。可是在做
              这一套的时候,我完全是在对有限进行操作。只要无限一搅和进
              来,推理一定会被搞得夹缠不清。所以,直觉主义关于无限的那
              些论断在我看来是极其含糊的. 当然, 就连“10的10的10次方”
              是什么意思,也是有歧义的。

    Int:      你的“极端有限主义”给消除误解提供了最安全的准则,但在我
              们看来,你连“理解”本身都否定了,这让人很难接受。小孩子
              自打上学起就知道自然数是什么,他们都知道自然数序列数下去
              是没有穷尽的!

    Letter:   他们只是在被灌输以后自以为知道而已。

    Int:      这无可非议。语言交流都可以被解释成“灌输”。Euclid在他的
              《几何原本》第IX卷第20条命题中证明了存在无穷多个素数之后,
              就很清醒他说了些什么。象自然数这么初等的概念,凡是会思考
              的人没有不熟悉的,在直觉主义数学里是非常基本的。我们并不
              声称对它的理解在任何绝对的意义下是确定的或明确的,因为那
              是不现实的。但我们认为,对于建立数学来说,它已经是足够的
              了。

    Letter:   我的反对意见并不是象Class先生那样认为你们假设的东西太少,
              恰恰相反,我认为你们假设的太多了。你们从你们认为的直观上
              清楚的、无须任何解释的特定原则出发,排斥了其他类型的推理,
              却不说明这种区分的根据是什么。例如,对大多数人来说,排中
              律和完全归纳原则的成立依据应该是差不多同样有力的。你们凭
              什么拒绝前者而承认后者?这种对基本原则的随意选择给你们的
              体系增添了浓重的教条主义色彩。

    Int:      确实,对于把直觉主义的断言当作事实来读的人来说,这些断言
              显得教条了一点,但我们的本意绝非如此。如我已经对Class先生
              说的那样,直觉主义数学是由心智的数学构造组成的。一个数学
              定理表达了一个纯经验的事实,即一项特定的构造的成功。比如,
              “2+2=3+1” 必须被看作是下列陈述的缩写:“我已经完成了由
              ‘2+2’和‘3+1’所分别表示的数学构造,结果发现它们给出了
              同样的结果。”现在我要问:教条的成分从哪里能够溜进来?不
              可能在构造的过程中溜进来,因为我们已经很明确构造本质上是
              一种行为;也不可能从关于构造的陈述得来,因为它们都是纯经
              验的结果。

    Letter:   不错,你们主张这些心智的构造导致某种真理;它们不是纸牌游
              戏,而必须是在一定意义上对人类有价值的东西。否则你就会给
              别人带来不快。就是在这些地方我看到了教条成分。数学直觉给
              了你洞察客观和永恒真理的灵感;这不仅带有教条味道,简直带
              有神学的味道了!

    Int:      在前面一个例子里,我的数学思维是我个人智力生活的组成部分,
              它与我的个人心智相契合,与其他思维没什么两样。我们通常都
              承认他人的思维与我们自己的思维多有类似之处,当我们用言辞
              表达我们的思想时,别人是可以理解我们的意思的,但我们没有
              把握是否一定可以被别人准确无误地理解。在这点上,数学和其
              他学科并无不同。如果你认为这就是教条,那人类的所有推理都
              是教条了!数学思维的特征在于,它不传达关于客观外界的真理,
              而只关心心智的构造。为了建立数学理论,不应有任何哲学上的
              前提条件,但是我们在从事这一活动时所持的态度则受我们的哲
              学观念的左右。

    Sign:     你处理语言的方式是一种倒退。原始语言就有你描述的这种浮动
              的、不稳定的特性。日常语言仍然以此为主。但是自从科学思维
              发端之日,语言的形式化就提上了日程。在近几十年里,符号主
              义者们研究了这一过程。这一过程还没有完结,严格形式化的的
              语言还有待建立。

    Int:      如果语言的形式化真是科学发展的趋势的话,那直觉主义数学倒
              是真的不配称为科学了。毋宁说它是一种生命的现象、人的一种
              自然活动,它自身反而是科学方法研究的对象。事实上已经有人
              做过这样的研究了,例如直觉主义推理的形式化和符号主义方法。
              但是显然,这种研究连同其结果都并不是直觉主义数学的一部分。
              所有这些对直觉主义数学的科学研究都决不会产生对它的更加全
              面、更加明确的描述,最多不过是搞出另一个关于某类现象的描
              述性理论而已。不管这些“元”直觉主义数学的考虑是多么引人
              入胜,它自身却不可能被接纳为直觉主义数学的一部分。当然,
              这些评论并不适用于数学内部的形式化运动,如我刚才所说的那
              样。

    Prag:     我来为Sign先生补充几句。通过语言的形式化,科学前进了。科
              学之所以采取这种方法,是因为它管用。特别是当代这种纯形式
              化的语言,好象十分的有用。现代科学的想法是搞出一个现成的
              形式化系统的“军火库”,供想建立形式化理论的人挑选符合自
              己手头实验结果的形式化系统,随用随取。形式化系统的好坏,
              应该在这种有用性准则的基础上进行衡量,而不应该采用出于教
              条主义或形而上的原因而偏爱的那种含糊的、任意的解释去衡量。

    Int:      看上去,从有用性角度来评价数学系统是相当合理的。我得承认,
              从这个角度去评价的话,直觉主义只有很少的胜算被接受,因为
              在目前去强调它在物理上的一点微弱的应用前景还为时尚早。我
              倒是觉得它在哲学、历史和社会科学方面的应用前景会好得多。
              其实,从直觉主义观点看,数学是研究人的心智的某些特定功能
              的学问,因此好象跟上述学科有更近的渊源关系。但是,有用性
              真的能成为衡量价值的唯一标准吗?我们很容易就能举出一大堆
              有价值的活动,如艺术、体育、轻松的娱乐等等, 它们并不在任
              何意义上构成对科学的支持. 我们断定直觉主义数学具有这类价
              值, 这价值很难事先进行定义, 但在从事这种工作的时候会明确
              地感受到。你们知道, 哲学家们为了定义艺术中的价值费了多少
              脑筋, 可是任何一个受过教育的人都能感受到这种价值。直觉主
              义数学的价值与此相类似。

    Form:     对绝大多数数学家来说, 这一价值带来的致命伤害在于: 你们摧
              毁了绝大部分数学精华。数学基础研究中有价值的方法理应保留
              尽可能多的财富。本来, 连构造性方法也是可以成功的, 只是别
              象直觉主义数学做得那么过分就行。在这一点上, 甚至在直觉主
              义者的小圈子里对构造性的界定也并不完全一致。给人留下深刻
              印象的一个事例是Griss对“否定” 概念的排斥。其他直觉主义
              者还都认为接受否定概念是天经地义的嘛。所以我觉得, 如果对
              构造性方法采取某种宽容些的理解, 还是可以把经典数学里的精
              华部分都保留下来的。

    Int:      由于直觉主义者使用的是非形式化的语言, 他们的观点稍有分歧
              是意料之中的事情。虽然有些人的迅速崛起和激烈言辞引起一些
              反响, 但绝没到危言耸听的地步, 因为他们关心的都只是细枝末
              节, 远未对基本观念产生影响。因此我认为, 更宽泛的构造性概
              念目前是没有可能得到直觉主义的支持的。至于你批评我们把数
              学弄得残缺不全, 我要说这乃是采取我们的立场带来的不可避免
              的后果, 就好象拆除华而不实的装饰。至少我们还可以用细微差
              别的魅力和富于智慧的方法来加以补偿, 丰富数学思想的宝库。

    Form:     我们的讨论据称是关于价值的讨论。照你所说, 你们是愿意承认
              数学中的其他观念的价值的, 只不过你断定你们的观念有它自身
              的价值罢了。是这样的吗?

    Int:      的确, 数学基础中我所面对的唯一的正面的论点就是经典数学具
              有明确的意义; 坦白地说, 我对此难以理解。但是, 就算是那些
              自以为对此非常理解的人, 也完全可以领会我们的观点, 承认我
              们工作的价值。

    Letter:   悖论表明, 经典数学也不是十分明确的。

    Form:     是的. 但是, 直觉主义的批评走得更远, 光是为了避免悖论又何
              必对数学动如此大的手术呢?Int先生刚才对自己观点的讲解中,
              对悖论甚至提都没有提到。无疑, 在他眼里, 自恰性只不过是直
              觉主义的一个歪打正着的副产品罢了。

    Sign:     Int先生,你说你的行为是一种心智的构造。然而, 心智过程只有
              通过它诱发的动作才能被观察到。就你的例子而言, 就是只有通
              过你说出来的话和写下来的公式才能被观察到。这不恰恰意味着,
              要研究直觉主义, 只能通过研究它构造出来的形式系统吗?

    Int:      当我看到那边的一棵树, 我很容易相信我看见了一棵树。要是有
              人教导我说, 这实际上是光波到达我的眼睛, 诱发我构造出一棵
              树的形象, 这样的知识, 你说我接受起来累不累? 同样, 跟你说
              话时, 我很容易相信我是在用我的观点影响你, 你要是教导我说
              我实际上是在制造空气的振动, 这导致了你做出相应的动作, 比
              如制造另一次空气的振动, 我接受起来当然会有问题。两种情形
              下, 我的第一感觉都是自然的, 随后接受的说教都是理论的构造。
              人们往往太容易忘记, 这种构造的真理性取决于当时的科学发展
              水平, 那个“实际上”云云, 其实只是“按照当代科学家的观点”
              的代名词罢了。因此, 在描述直觉主义数学的时候, 我喜欢提倡
              这样的态度, 就是: 我向听者传达我的思想, 这些词语不要按照
              什么哲学体系中的意义去理解, 就按照日常生活中的意义去理解
              好了。

    Sign:     照你这么说, 直觉主义作为人与人交互的一种形式, 乃是一种社
              会现象, 属于文明史的研究范畴喽?

    Int:      直觉主义的研究是这样, 但直觉主义的实践不是。我很同意Prag
              先生的话: 生命之树常绿, 而理论是灰色的。如果我们愿意, 我
              们会把理论甩给别人。让我的追随者们去操心我为什么建立这些
              心智构造以及他们如何对之进行哲学上的解释吧, 对我来说, 只
              要我的学说能对人类思维作出一些澄清, 我就心满意足了。


    Prag:     哲学家们经常犯这样的错误: 他们总是爱在自己其实只是一知半
              解的问题上信口胡说。我们就处在陷阱的边缘。不知 Int先生是
              否愿意给出一些直觉主义推理的例子, 也好让我们有个具体的东
              西去品评啊。

    Int:      肯定可以。我甚至觉得, 短短几堂课会比冗长的讨论更能带给你
              们真知灼见。这里我要动员那些热衷于要我对直觉主义数学做出
              哲学解释的先生们, 跟我去我的课堂吧!

    (完)


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    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
    have governed my life: the longing for love, the
    search for knowledge, and unbearable pity for the
    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

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